Demostración En efecto, sea A un conjunto no vacío y mayorado de números reales, y sea B el conjunto de todos los mayorantes de A. Por definición de mayorante tenemos a 6 b para cualesquiera a ∈ A y b ∈ B. El axioma del continuo nos proporciona un x ∈ R verificando que vacíode números reales, acotado superiormente, tiene supremo, es decir, b tal que b supS. Observación: Lo mismo para el ínfimo. CONSECUENCIAS: 1. Propiedad Arquimediana: Si x , entonces existe un nx / x nx 2. Densidad de los racionales en los reales. Teorema: Si x e y son dos númeos reales con x y, entonces existe un número unao la otra, en las demostraciones. Los axiomas 4 y 5 entregan la existencia de ciertos elementos especiales en R:Una consecuencia directa de ellos es que el conjunto de los nu meros reales es no vac o. Sin embargo, como veremos mas adelante, con estos axiomas el conjunto de los nu meros reales todav a podr a tener muy pocos elementos. Axioma Axiomasde los números reales. Axioma: Proposición que se admite como verdadera sin demostración. 1. Axiomas de la igualdad 1.1. Una recta tal que a cada uno de sus puntos está asociado con un número cadauno de estos números correspondiese a la medida de un segmento. Estos números deben estar ordenados de modo que números (medidas) “mayores” correspondan a segmentos más grandes. Un número x queda caracterizado por sus aproximaciones racionales por defecto y por exceso. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Recordemos con Demostracionemate. 1. 1 LOS NUMEROS REALES Conjunto no vacío designado como ℜ y denominado conjunto de los números reales. En él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ . ” Relación de igualdad Definición: R = ⎨ (a,b) en que a ∧ b ∈ ℜ ∧ a R b ⎬ Propiedades de la relación Proposición La suma de los primeros n números naturales es n ( n + 1) 2. Esta proposición nos dice que si sumamos los primeros n números n, el resultado será: ∑ i = 0 n i = 0 + 1 + 2 + ⋯ + n − 1 + n = n ( n + 1) 2. Para demostrar esto, seguiremos los pasos del algoritmo. Para ello, consideremos al conjunto S = { n ∈ N: ∑ i = 0 n Deacuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que \ ( {\mathbb {R}^3}\) es un espacio vectorial. Los espacios \ ( {\mathbb {R}^n}\) , con \ (n \ge 1\) , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para \ ( {R^3}\) nos ayudará a entender y visualizar muchos Peroprimero intentaremos construir un conjunto incontable que no tenga la misma cardinalidad que R R. Para abordar este tema, Cantor demostró lo siguiente en 1891. Teorema 9.3.1 9.3. 1: Cantor’s Theorem. Dejar S S Acontinuacio´n demostraremos otras propiedades de los nu´meros reales. Muchas de ellas son conocidas del colegio. Nos interesara´ revisarlas por un doble objetivo. Por un lado es bueno recordarlas (y/o aprenderlas), y por otro queremos ver por qu´e son ciertas y como se deducen ellas a partir de los 5 axiomas de cuerpo anteriores. WhIBT2.